洋葱数学二项式定理推导

二项式定理描述了二项式 $（a+b）^n$ 的展开形式，即：

$$

（a+b）^n = \sum_{k=0}^{n} C（n, k） a^{n-k} b^k

$$

其中，$C（n, k）$ 是二项式系数，表示从 $n$ 个不同元素中选取 $k$ 个元素的组合数，计算公式为：

$$

C（n, k） = \frac{n!}{k!（n-k）!}

$$

二项式定理的推导可以通过多种方法，包括数学归纳法和组合数学的方法。以下是推导的简要概述：

数学归纳法

基础步骤：验证 $n=1$ 时，$（a+b）^1 = a + b$，展开式中只有一项 $C（1, 0） a^1 b^0 = a + b$，成立。

归纳步骤：假设对于某个正整数 $k$，$（a+b）^k$ 的展开式为：

$$

（a+b）^k = \sum_{i=0}^{k} C（k, i） a^{k-i} b^i

$$

证明 $n=k+1$ 时也成立：考虑 $（a+b）^{k+1}$：

$$